çemberin analitiği konu anlatımı
Çemberin Analitik İncelenmesi Formülleri
Çemberin Analitik İncelenmesi
Analitik düzlemde aynı özellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur. Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır. Verilen bir eğrinin üzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya, o eğrinin denklemi denir. Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha çok dereceden olabilir. Çember denklemi de x ve y’ ye göre ikinci dereceden bir denklemdir.
Çemberin Denklemi
Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine, çember denir. Çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da çemberin denklemi diyoruz. Bir çember, merkezi ve yarıçapı ile belli olduğundan, analitik düzlemde merkezi m(a,b), yarıçap uzunluğu r olan bir çemberin denklemini bulalım:
Çember üzerinde bir nokta P(x,y) ise,
|MP|=r dir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden;
|MP|=(x-a)2+(y-b)2=r
(x-a)2+(y-b)2=r2
Bu bağıntıya, merkezinin koordinatları M(a,b), yarı çapı r olan çemberin denklemi denir.
Örnek:
Merkezinin koordinatları; M(-2,3) ve yarıçap uzunluğu, r=5 birim olan çemberin denklemini yazınız.
Çözüm:
M(-2,3) = a=-2, b=3 ve r=5 brim ise,
(x-y)2+(y-b)2 =r2 = (x+2)2(8y-3)2=25 bulunur.
Merkezli Çemberin Denklemi
Bir çemberin merkezi orijinde ise, merkezin koordinatları M(0,0) dır. Yarıçap uzunluğu r, merkezi M(0,0) olan çemberin bu eğerleri, (x-a)2+(y-b)2=r2 denkleminde yerlerine yazılırsa, x2+y2=r2 denklemi elde edilir. Bu denkleme, yarıçap uzunluğu r olan merkezil çemberin denklemi denir.
Örnek:
Bir merkezil çember üzerinde, herhangi bir nokta A(-3,4) ise, bu çemberin denklemini bulunuz.
Çözüm:
Merkezil çemberin denklemi, x2+y2=r2 olduğundan, a(-3,4) noktası bu denklemi sağlar. Buna göre,
x=-3 ve y=4 = (-3)2+42=r2
9+16 = r2 = r=5 bulunur. Öyleyse, aradığımız denklem x2+y2 = 25 bulunur.
Merkezleri Eksenler Üzerinde veya Eksenlere Teğet Çemberlerin Denklemleri
1- Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:
a = 0 ve b = 0 dır.
M(0,b) = (x-a)2 + y2 = r2 olur.
2- Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:
a = 0 ve b = 0 dır.
M(0,b) = x2 + (y-b)2 = r2 olur.
3- x eksenine teğet olan çemberin denklemi:
|b| = r ise M(a,r)
(x-a) 2+ (y-r)2 = r2 olur.
y
M(a,r)
O a x
4- y eksenine teğet olan çemberin denklemi;
|a| = r ise, M(r,b)
(x-r)2 + (y-b)2 = r2 olur.
y
b ----------
M(r,b)
x
5- Her iki eksene teğet çemberin denklemi:
Eksenlere I. ve III. bölgede teğet çemberlerin merkezleri, y=x denklemi ile verilen doğru (I. Açıortay) üzerinde; eksenlere II. ve IV. bölgede teğet çemberlerin merkezleri de denklemi y=-x olan doğru (II. açıortay ) üzerinde bulunur.
y y
y=x
M1 M2
O x O x
M3 M4
y=-x
M1 (r,r) = (x-r)2 + (y-r)2 = r2 M2 (-r,r) = (x+r)2 + (y-r)2 = r2
M3 (-r,-r) = (x+r)2 + (y+r)2 = r2 M4 (r,-r) = (x-r)2 + (y+r)2 = r2
alıntı
Çemberin Analitik İncelenmesi Formülleri
Çemberin Analitik İncelenmesi
Analitik düzlemde aynı özellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur. Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır. Verilen bir eğrinin üzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya, o eğrinin denklemi denir. Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha çok dereceden olabilir. Çember denklemi de x ve y’ ye göre ikinci dereceden bir denklemdir.
Çemberin Denklemi
Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine, çember denir. Çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da çemberin denklemi diyoruz. Bir çember, merkezi ve yarıçapı ile belli olduğundan, analitik düzlemde merkezi m(a,b), yarıçap uzunluğu r olan bir çemberin denklemini bulalım:
Çember üzerinde bir nokta P(x,y) ise,
|MP|=r dir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden;
|MP|=(x-a)2+(y-b)2=r
(x-a)2+(y-b)2=r2
Bu bağıntıya, merkezinin koordinatları M(a,b), yarı çapı r olan çemberin denklemi denir.
Örnek:
Merkezinin koordinatları; M(-2,3) ve yarıçap uzunluğu, r=5 birim olan çemberin denklemini yazınız.
Çözüm:
M(-2,3) = a=-2, b=3 ve r=5 brim ise,
(x-y)2+(y-b)2 =r2 = (x+2)2(8y-3)2=25 bulunur.
Merkezli Çemberin Denklemi
Bir çemberin merkezi orijinde ise, merkezin koordinatları M(0,0) dır. Yarıçap uzunluğu r, merkezi M(0,0) olan çemberin bu eğerleri, (x-a)2+(y-b)2=r2 denkleminde yerlerine yazılırsa, x2+y2=r2 denklemi elde edilir. Bu denkleme, yarıçap uzunluğu r olan merkezil çemberin denklemi denir.
Örnek:
Bir merkezil çember üzerinde, herhangi bir nokta A(-3,4) ise, bu çemberin denklemini bulunuz.
Çözüm:
Merkezil çemberin denklemi, x2+y2=r2 olduğundan, a(-3,4) noktası bu denklemi sağlar. Buna göre,
x=-3 ve y=4 = (-3)2+42=r2
9+16 = r2 = r=5 bulunur. Öyleyse, aradığımız denklem x2+y2 = 25 bulunur.
Merkezleri Eksenler Üzerinde veya Eksenlere Teğet Çemberlerin Denklemleri
1- Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:
a = 0 ve b = 0 dır.
M(0,b) = (x-a)2 + y2 = r2 olur.
2- Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:
a = 0 ve b = 0 dır.
M(0,b) = x2 + (y-b)2 = r2 olur.
3- x eksenine teğet olan çemberin denklemi:
|b| = r ise M(a,r)
(x-a) 2+ (y-r)2 = r2 olur.
y
M(a,r)
O a x
4- y eksenine teğet olan çemberin denklemi;
|a| = r ise, M(r,b)
(x-r)2 + (y-b)2 = r2 olur.
y
b ----------
M(r,b)
x
5- Her iki eksene teğet çemberin denklemi:
Eksenlere I. ve III. bölgede teğet çemberlerin merkezleri, y=x denklemi ile verilen doğru (I. Açıortay) üzerinde; eksenlere II. ve IV. bölgede teğet çemberlerin merkezleri de denklemi y=-x olan doğru (II. açıortay ) üzerinde bulunur.
y y
y=x
M1 M2
O x O x
M3 M4
y=-x
M1 (r,r) = (x-r)2 + (y-r)2 = r2 M2 (-r,r) = (x+r)2 + (y-r)2 = r2
M3 (-r,-r) = (x+r)2 + (y+r)2 = r2 M4 (r,-r) = (x-r)2 + (y+r)2 = r2
alıntı