T
theking
Sanal Yerdeğiştirme Tanımı - Sanal Yerdeğiştirme Fonksiyonu - Matematikte Sanal Yerdeğiştirme
Bir sanal yerdeğiştirme zaman sabit tutulduğunda sistemin koordinatlarında meydana gelen sonsuz küçük değişimdir. Gerçekte tüm yerdeğiştirmeler zamana bağlı olduğundan, bu değişime "gerçek" yerine "sanal" denilmiştir. Zamana,t, ve diğer değişkenlere, {q1,q2,...,qm}, bağlı olan sistem konum vektörlerinin herhangi bir kümesinin tam türevi, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Sanal yerdeğiştirmeyi (sanal diferansiyel yerdeğiştirme) ise aşağıdaki gibi ifade ederiz:
Bu denklem Lagrange mekaniğindeki sanal iş kavramında, genelleştirilmiş koordinatlar (qj) ile genelleştirilmiş kuvvetleri (Qj) ilişkilendirmek için kullanılır.
Analitik mekanikte sanal iş kavramı ile ilişkili olan sanal yerdeğiştirme kavramı, sadece hareketinde bağ koşulları bulunan bir fiziksel sistemi tartışırken anlam kazanır. Sonsuz küçük yerdeğiştirmenin (genellikle şeklinde ifade edilir) bir özel hali olan sanal yerdeğiştirme ( şeklinde ifade edilir), bağ koşullarını sağlayacak şekilde sistemin konum koordinatlarındaki sonsuz küçük bir yerdeğiştirmeye karşılık gelir.
Örneğin bir boncuğun hareketi, onun bir halka üzerinde döneceği şekilde kısıtlanmışsa, boncuğun konumu onun bulunduğu açıyı veren θ koordinatı ile gösterilebilir. Diyelim ki boncuk halkanın üst kısmında bulunuyor. Boncuğu bulunduğu yükseklik olan z 'den z + dz yüksekliğine çıkarmak mümkün olan sonsuz küçük yerdeğiştirmelerden biridir. Ancak bu yerdeğiştirme bağ koşuluna uygun değildir. Tek mümkün sanal yerdeğiştirme boncuğun konumunu bir θ konumundan, yeni bir θ + δθ konumuna taşımak olurdu (δθ pozitif veya negatif olabilir).
Dikkat edilmesi gereken bir husus ta sanal yerdeğiştirmelerin yalnızca uzaysal yerdeğiştirmeler olduğudur(bu yerdeğiştirmeler meydana gelirken zaman sabittir). Zamanın ve uzayın fonksiyonu olan niceliklerin sanal diferansiyellerini hesaplarken zamana bağlılık göz önüne alınmaz (bu matematiksel olarak δt = 0 ifadesine eşdeğerdir)
Bir sanal yerdeğiştirme zaman sabit tutulduğunda sistemin koordinatlarında meydana gelen sonsuz küçük değişimdir. Gerçekte tüm yerdeğiştirmeler zamana bağlı olduğundan, bu değişime "gerçek" yerine "sanal" denilmiştir. Zamana,t, ve diğer değişkenlere, {q1,q2,...,qm}, bağlı olan sistem konum vektörlerinin herhangi bir kümesinin tam türevi, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Sanal yerdeğiştirmeyi (sanal diferansiyel yerdeğiştirme) ise aşağıdaki gibi ifade ederiz:
Bu denklem Lagrange mekaniğindeki sanal iş kavramında, genelleştirilmiş koordinatlar (qj) ile genelleştirilmiş kuvvetleri (Qj) ilişkilendirmek için kullanılır.
Analitik mekanikte sanal iş kavramı ile ilişkili olan sanal yerdeğiştirme kavramı, sadece hareketinde bağ koşulları bulunan bir fiziksel sistemi tartışırken anlam kazanır. Sonsuz küçük yerdeğiştirmenin (genellikle şeklinde ifade edilir) bir özel hali olan sanal yerdeğiştirme ( şeklinde ifade edilir), bağ koşullarını sağlayacak şekilde sistemin konum koordinatlarındaki sonsuz küçük bir yerdeğiştirmeye karşılık gelir.
Örneğin bir boncuğun hareketi, onun bir halka üzerinde döneceği şekilde kısıtlanmışsa, boncuğun konumu onun bulunduğu açıyı veren θ koordinatı ile gösterilebilir. Diyelim ki boncuk halkanın üst kısmında bulunuyor. Boncuğu bulunduğu yükseklik olan z 'den z + dz yüksekliğine çıkarmak mümkün olan sonsuz küçük yerdeğiştirmelerden biridir. Ancak bu yerdeğiştirme bağ koşuluna uygun değildir. Tek mümkün sanal yerdeğiştirme boncuğun konumunu bir θ konumundan, yeni bir θ + δθ konumuna taşımak olurdu (δθ pozitif veya negatif olabilir).
Dikkat edilmesi gereken bir husus ta sanal yerdeğiştirmelerin yalnızca uzaysal yerdeğiştirmeler olduğudur(bu yerdeğiştirmeler meydana gelirken zaman sabittir). Zamanın ve uzayın fonksiyonu olan niceliklerin sanal diferansiyellerini hesaplarken zamana bağlılık göz önüne alınmaz (bu matematiksel olarak δt = 0 ifadesine eşdeğerdir)